Intersection de deux plans - Corrigé

Énoncé

  Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \((\text O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\) , on considère le plan  \(\mathscr{P}\) d'équation cartésienne \(4x+14y+3z=33\) .

Soit \(\text M(x;y;z)\) un point à coordonnées entières appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d'équation \(z=5\) .

1. Montrer que  \((x;y)\) est solution de \((E) \colon 2x+7y=9\) .

2. Résoudre l'équation  \((E)\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

3. Montrer qu'il existe un unique point appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d'équation \(z=5\) , et dont les coordonnées sont des entiers naturels, puis déterminer les coordonnées de ce point.

Solution

1. Comme le point \(\text M\) appartient au plan d'équation \(z=5\) , on sait que les coordonnées de \(\text M\) sont \(\text M(x;y;5)\) . De plus, le point \(\text M\) appartient au plan \(\mathscr{P}\) , donc
\(\begin{align*}4x_\text M+14y_\text M+3z_\text M=33& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4x+14y+3 \times 5=33\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4x+14y=33-15=18\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2x+7y=9\end{align*}\)  

et on a donc bien \(2x+7y=9\) .

2. 

• On applique l'algorithme d'Euclide pour \(7\) et \(2\) :
  \(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 7&2&3&1\\ \hline 2&1&2&0 \\ \hline \end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 1 \\ \ \end{array}\end{align*}\)  
  On a donc \(\mathrm{PGCD}(2;7)=1\) , et comme \(1\) divise \(9\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.
  
• D'après l'algorithme d'Euclide, on a
  \(\begin{align*}7=2 \times 3 +1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2 \times (-3)+7 \times 1=1 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2 \times (-27)+7 \times 9=9 \end{align*}\)  
  donc \((x_0;y_0)=(-27;9)\) est une solution particulière de \((E)\) .
  
• Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
  On a  \(\begin{align*}2x+7y=2 \times (-27)+7 \times 9& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2(x+27)=7(9-y)\end{align*}\) .
  On en déduit que \(2\) divise \(7(9-y)\) .
  Or \(\mathrm{PGCD}(2;7)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(2\) divise \(9-y\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*} 9-y=2k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=9-2k \end{align*}\) .
  On a alors
  \(\begin{align*}2(x+27)=7(9-y)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2(x+27)=7 \times 2k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+27=7k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=7k-27.\end{align*}\)    
  Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(7k-27;9-2k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
  
• Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(7k-27;9-2k)\) .
  On a  \(\begin{align*}2x+7y& = 2(7k-27)+7(9-2k)= 2 \times (-27)+7 \times 9= 9\end{align*}\)  donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .
  
• En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(7k-27;9-2k) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .
  

3. D'après la question 2, il existe une infinité de points appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d'équation \(z=5\) , et dont les coordonnées appartiennent à \(\mathbb{Z}\) . Si l'on ajoute la condition que les coordonnées soient positives, on doit avoir d'une part :
\(\begin{align*}7k-27 \geqslant 0& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 7k \geqslant 27\ \ \Longleftrightarrow \ \ k \geqslant \frac{27}{7} \approx 3,9\end{align*}\)  donc \(k \geqslant 4\) ;
et d'autre part :
\(\begin{align*}9-2k \geqslant 0& \ \ \Longleftrightarrow \ \ -2k \geqslant -9\ \ \Longleftrightarrow \ \ k \leqslant \frac{-9}{-2}=4,5\end{align*}\)  donc \(k \leqslant 4\) .

Il y a donc un seul point à coordonnées entières naturelles appartenant au plan \(\mathscr{P}\) et au plan d'équation \(z=5\) .

Ses coordonnées sont obtenues pour \(k=4\) : il s'agit du point \(\text M(1;1;5)\) .